小編為考生總結了線性代數行列式的細算方法，希望對于這方面有疑問的考生能夠起到參考借鑒的作用。

行列式的計算靈活多變，需要有較強的技巧。當然，任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應用定義法求非零元素乘積項時，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。接下來要介紹計算行列式的兩種最基本方法――化三角形法和按行（列）展開法。

方法1　　化三角形法

化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或對角形行列式的性質將行列式化為三角形行列式計算。

原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式。但對于階數高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。

例1：浙江大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第一大題第2小題（重慶大學2004年攻讀碩士研究生入學考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計算如下行列式的值：

[分析]顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數是差1的，根據行列式的性質，先從第n-1列開始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。

解：

方法2　 按行（列）展開法（降階法）

設為階行列式，根據行列式的按行（列）展開定理有

或

其中為中的元素的代數余子式

按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發揮真正的作用。因此，應用按行（列）展開法時，應利用行列式的性質將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。

例2，計算20階行列式[9]

[分析]這個行列式中沒有一個零元素，若直接應用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進行20!*20-1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質將其化為有很多零元素，則很快就可算出結果。

注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應元素僅差1，因此，可按下述方法計算：

解：

以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質和基本方法結合起來。

下面是一常用的方法：

方法3　遞推法

應用行列式的性質，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。

[注意]用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結構如果沒有的話，即很難找出遞推關系式，從而不能使用此方法。

例3，2003年福州大學研究生入學考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：

（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）

[分析]此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結構。因此可考慮利用遞推關系式計算。

證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：

這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關系式。若由上面的遞推關系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：

或

現可反復用低階代替高階，有：

同樣有：

因此當時

由（1）（2）式可解得：

證畢。

[點評]雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結構，然后得到一遞推關系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當地換遞 推關系式，如本題。

以上總共給出了計算行列式的3種方法，其中一些是常見的些是最基本的方法，還有一些是特殊但很實用的方法。在課外書中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導數法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。